<<计算机应用与可靠性工程中的概率统计>>
引言
样本空间
样本空间: 一个随机试验的全部可能结果,S
可列无穷: 与自然数一一对应 + 有限 == 可数/离散样本空间
事件
事件是某些样本点的集合, 单独进行的随机试验称为试验
- 普通事件: {样本空间}
- 不可能事件, 互斥事件
- 基本事件 : {一个元素}
- 基数, 补集, Venn图, 树图, 坐标系
概率公理
Kolmogorov公理
- $P(A) \ge 0$
- P(S) = 1
- A,B互斥, P(AUB) = P(A) + P(B)
- 容斥: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- SDP 不交积和法
概率空间(S,F,P) : 可测的
解决问题基本步骤
- 定义样本空间S : 互斥,完全穷尽
- 概率分配
- 确定所感兴趣的事件(图示法简化)
- 计算所需概率
条件概率
$$P(s|B) = \begin{cases}\frac{P(s)}{P(B)}, & \text{if s $\in$ B } \0, & \text{if $s$ $\notin$ B}\end{cases}$$
$$P(A|B) = \begin{cases} P(B)P(A|B) &\text{if P(B) $\neq$ 0}\ P(A)P(B|A)&\text{if P(A) $\neq$ 0}\0&else\end{cases}$$
独立事件
$P(A|B) = P(A)$ or $$P(A \cap B) = P(A) \cap P(B)$$
- 如果AB互斥, 那么P(A) = 0 or P(B) = 0
- 如果与自己相互独立: P(A) = 0 or P(A) = 1
- 不具有传递性
- $\overline{A}$ 继承A的独立集..
- 两两独立$\subseteq$ 相互独立
可靠度
可靠度乘积法则, 并联冗余, 可靠性框图(RBD), 故障树(顶事件)
- 容斥公式
- SDP公式
- 二元决策图
- 因子调节
Bayes法则
事件空间: 实验结果与S’元素之间关系在于多对一
全概率定理: $P(A) = \sum P(A|B_{i})P(B_i)$
Bayes法则: $$P(B_j|A) = \frac {P(B_j\cap A)}{P(A)} =\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum P(A|B_i)P(B_i)}$$
- A已经发生,但是不知道互斥,完全穷尽$B_j$哪个发生时候
- 后验概率: 交换了A先发生和B先发生的顺序,也就是当知道P(A or $\overline{A}$|B),P(A or $\overline{A}$|$\overline{B}$) 求P(B|A)
Bernoulli试验
恰好k个 $p(k) =C(n,k) p^kq^{n-k}$
至多k个$P_w = \sum C(n,k)(1-p)^ip^{n-i}$
至少k个 $P_{k|n} = \sum p(i)$
非齐次Bernouli实验(每次成功概率不同): $P{k|n} = 1 - \sum{|i|>k}(\prod_{i in I} Ri)(\prod{i\notin I} R_i)$
广义Bernouli实验(不止两种可能): $p(n_1,n_2…n_k) = \frac{n!}{n_1!n_2!…n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}…p_k^{n_k}$
离散型随机变量
- 随机变量指的是一种可能结果对应某一数值的映射法则
- 逆像 $A_x = {s \in S|X(s) = x}$ 随机变量样本点的集合
- PMF质量概率函数/离散密度函数$P_X(x) =PX(X=x) \sum{X(s)=x}P(s)$
- 分布函数$PX(X\in x) = \sum{x_i\in A}P_X(x_i)$
- CDF累计分布函数/改路分布函数 $F_X(t) = P(-\infty < X \leq t)$
- Bernoulli分布
X只能取0/1
$p_X(0) = p_0 = P(X = 0) = q$
$p_X(1) = p_1 = P(X = 1) = p$
二项分布
$b(k;n,p) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} \simeq \frac 1{\sqrt{2\pi npq}}e^-\frac{(k-np)^2}{2npq}$ (PMF正态近似)
$B(t;n,p) = \sum_{i=0}^{\lfloor t \rfloor}C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$
几何分布: 第一次成功已完成的实验次数
无记忆性
PMF: $Fz(t) = \sum{i=1}^{\lfloor t \rfloor}p(1-p)^{i-1} = 1-(1-p)^{\lfloor t\rfloor}$
修正几何分布PMF $P_X(i) = p(1-p)^i$
负二项分布: 第T次实验为第r次成功
泊松分布: 在时间段t内到达k个任务的概率
- (当p非常小n非常大可以用来估计二项分布的PMW)
$e^{-\alpha}\frac{\alpha^k}{k!} \approxeq C(n,k) p^kq^{n-k} , \alpha = np $
- 超几何分布: 无放回抽样
- 离散均匀分布, 常值分布, 示性随机变量
概率生成函数
$$
G_x(z) = \sum p_iz^i
$$
- Bernoulli分布 $G(z) = 1-p-pz$
二项分布 $G(z) = (pz+1-p)^n$
几何分布: 第一次成功已完成的实验次数
修正几何分布PMF $G(z) = \frac{p}{1-z(1-p)}$
泊松分布: 在时间段t内到达k个任务的概率 $G(z) = e^{-\alpha(1-z)}$
常值分布: $G(z) = z^i$
示性随机分布$G(z) = p(A’) + P(A)_z$
随机变量的独立性
边缘PMF $P_x(x) = \sum P(U_j {X=x,Y=y_j})$
独立: $P_{x,y} = P_xP_y$